النموذج الخطي لمتغيرين: الانحدار البســــيط

النموذج الخطي لمتغيرين: الانحدار البســــيط
1.2 مقدمه
2.2 تحديد العلاقة.
3.2 تقدير نموذج الانحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى
4.2 خصائص مقدرات المربعات الصغرى العادية (م ص ع)
5.2 فترات الثقة Confidence Interval
6.2 اختبار الفرضيات
7.2 تحليل التباين لمعادلة الانحدارANOVA
8.2 التبنوء مع نموذج الانحدار البسيط.
9.2 ملخص
تمارين.


1.2 مقدمه:
تحليل الانحدار من أكثر الأدوات المستعملة في التحليل القياسي لذا سوف نبدأ بتحديد الخطوط العريضة لتحليل الانحدار. بينما في الفصول التاليه سوف تتعامل مع التعديلات وتوسيع للأساليب الاساسيه اللازمة في تحليل البيانات الاقتصاد يه.
نبدأ بالسؤال الأساسي: ما هو تحليل الانحدار؟ تحليل الانحدار يهتم بوصف وتقييم العلاقة بين متغير ( عادة يسمى المتغير التابع) وواحد آو اكثر لمتغيرات أخرى ( تسمى عادة المتغيرات المفسرة آو المتغيرات المستقلة) ويرمز للمتغير المفسر بـ y والمتغيرات المفسرة بـ x3 x2 x1….xn .
التفسير الحرفي لكلمة انحدار تعني" ارتداد أو انكفاء أو رجوع" في الحقيقة تحليل الانحدار لا يربطه بهذا المعنى أي رابط.
كلمة انحدار استخدمت من قبل سير فرنسيس جالتون Sir Francis Galton (1982-1911) من إنجلترا. والذي كان يدرس العلاقة بين طول الأبناء وطول الآباء والذي لاحظ جالتون أن الطول يميل إلى المعدل مع أن الآباء الطوال يكون أبنائهم طوال والآباء القصار يميل أبنائهم لان يكونوا قصار أي أن هناك ميل عند ألأبناء للمعدل أي أن هناك انحدار نحو المعدل.في دراسات أخرى مشابهه تحصل على نفس النتيجة التي تحصل عليها جالتون.
بالعودة إلى الرموز التي استخدمناها حيث رمزنا للمتغير المفسَر بـ y والمتغيرات المفسرة بـ x3 x2 x1….xn . إذا كانت k=1 ، أي إن هناك متغير مستقل واحد فقط من المتغيرات المفسرة. أي ان هناك x واحدة فقط. يعرف هذا بالانحدار البسيط. وهو ما سوف يتم مناقشته في هذا الفصل. إذا كانت k>2 ، آي أن هناك اكثر من x واحد و متغير مستقل. نحصل على ما يعرف بالانحدار المتعدد. والذي سوف نناقشه في الفصل القادم.

مثال 1 : الانحدار البســيط.
y = المبيعات
x = النفقات الاعلانيه.
حيث يتم تحديد العلاقة بين المبيعات والنفقات الأعلانيه.

مثال 2: الانحدار المتعدد.
Y = استهلاك ألا سره.
X1 = دخل ألا سره.
X2= الأصول المالية للاسره
X3 = حجم ألا سره

تحديد العلاقة بين نفقات استهلاك ألا سره من جهة والدخل، والأصول المالية و حجم ألا سره من جهة اخرى.
هناك عدة أسباب لدراسة هذه العلاقات. يمكن استخدام ذلك في :
1- تحليل تأثير بعض السياسات التي تتضمن تغير قيم لفرد معين. في المثال الأول نستطيع أن نحلل تأثير النفقات الاعلانيه على كمية المبيعات.
2- التنبؤ بقيم Y من قيم X.
3- اختبار مدى معنوية العلاقة بين آي من X و Y.
في مناقشتنا نفرق بين المتغيرY و المتغيرات X. افترضنا أن المتغيرات X هي المتغير الذي يؤثر على المتغير Y . هناك العديد من المصطلحات التي نطلقها على Y , X توجد في الجدول 1.3 .
جدول 3: مصطلحات المتغير التابع و المتغير المستقل.
X Y
1-مًتنبأ متَنبأ به
2-مفسر مفَسر
3-مستقل تابع
4-مسبب متأثر
5-خارجي داخلي
6-المتغير المتحكم المتغير الهدف
كل من هذه المصطلحات يستخدم حسب الغرض من تحليل الانحدار فالمصطلح الأول يستخدم في عملية التنبؤ بينما المصطلحات الأخرى تستخدم في مناقشة الانحدار. اما المصطلح خارجي وداخلي تستخدم فقط من قبل القياسيين. بينما المصطلح الأخير يستخدم في التجارب الخاصة بدراسة تأثير مسببات معينه على متغير مستهدف.

2.2 تحديد العلاقة:
العلاقة بينY وX تمثل بالتالي:
1.2
حيث ترمز لـ Y كدالة لـX. نستطيع إن نقسم العلاقة إلى نوعين:-
1- علاقة رياضية محدده.Deterministic
2- علاقة إحصائيه لا تعطي قيمه فريدة لـ Y من قيمه محدده من X. ولكن يمكن أن توصف بصيغة احتماليه.

سوف نتحدث هنا في تحليل الانحدار عن العلاقة من النوع الأول على سبيل المثال العلاقة بين المبيعات و النفقات الاعلانيه يمكن أن توصف بما يلي:-
2.2
هذه علاقة محدده deterministic . حيث يمكن تحديد المبيعات لكل مستوى من النفقات الاعلانيه، كما يلي:-
Y X
2500 0
4500 20
7500 50
12500 100

في الجانب الأخر، نفترض أن العلاقة بين المبيعات والنفقات الاعلانيه كما يلي:-
3.2
قيمة u تتراوح بين قيم معينه حسب جدول للاحتمالات يعطي لكل قيمه احتمال معين على سبيل المثال:- الاحتمالات أن قيمة u اكبر من 500 يساوي ½ واقل من 500 يساوي ½ . لذا لا نستطيع تحديد قيمة Y من قيمة X نقول إن هناك العديد من قيم Y المقابلة لقيمة واحدة من X . إذا كان هناك توزيع طبيعي لقيم Y المقابلة لقيمه واحدة من X . كما هو في الشكل

Y







X

الخط الذي يمثل العلاقة هو العلاقة التحد يديه . ولكن القيم الحقيقية لـ Y تمثل الخط العمودي وتسمى العلاقة بين X ,Y علاقة عشوائية.
بالرجوع إلى المعادلة التي تمثل الدالة.نستطيع القول إن الدالة تمثل الخط بينما العلاقة العشوائية هي
حيث تمثل u الخطأ العشوائي. وتمثل   معاملات الانحدار.
لماذا يتم إضافة الخطأ العشوائي للمعادلة؟
1- يمثل عنصر العشوائية في استجابة الإنسان مثل اختلاف النفقات الاستهلاكية من فرد لأخر مع العلم انهم قد يتساووا في الدخل.
2- تأثير عوامل أخرى محذوفة مثل العادات حجم ألا سره وغيرها من العوامل.
3- خطأ في قياس المتغير التابع.

الهدف هو الحصول على تقدير للمعاملات الغير معروفه   للقيام بعملية التقدير يجب افتراض بعض الافتراضات الخاصة بالخطأ العشوائي:
1- الوسط الصفري.E(u)=0
-أن وســـــط التوزيع الاحتمالي الخاص بالمتغير العشوائي = الصفر. إي أن قيم u تتمركز حول الصفر.
2- تساوي التباين .
تباين التوزيع الاحتمالي الخاص بالعناصر العشوائية uيساوي قيمه ثابتة وموجبة.
3- استقلالية الخطأ العشوائي: أي أن التغاير، درجة الارتباط بين قيم العشوائي = الصفر
أي انها مستثقله عن بعضها.
4- التوزيع الطبيعي للخطأ العشوائي.
تمثل هذه الافتراضات بالتالي
3.2 تقدير نموذج الانحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى:-
هناك عدة طرق لتقدير معاملات معادلة الانحدار أهمها 1)طريقة المربعات الصغرى. 2) طريقة الإمكانية العظمى.
في المرحلة الأولى نفترض وجود الفروض الاساسيه لمعالجة النموذج الخطي. وفي المراحل اللاحقة نتعرض للحالات التي تكون فيها هذه الفروض غير صحيحه.
نموذج الانحدار بالافتراضات الأساسية كما يلي:

هي المعادلة الأساسية التي تصور العلاقة بين التابع والمستقل حيث i تعتمد على العينة التي يبلغ حجمها n . بالأضافه إلى المعادلة ألأساسيه نقول أن النموذج يحتوي افتراضات عن المتغير العشوائي.
تقدير النموذج يتم بغرض الحصول على مقدرات معالم نموذج الانحدار البســــيط. نموذج الانحدار البسيط يتضمن ثلاث معالم هي,  , معلمة القاطع،  , معلمة الميل، 2 معلمة التباين. المراد هو استخدام إحصائيات المتغيرات التابعة والمتغيرات المستقلة حسب الطرق الإحصائيه الملائمة للحصول على مقدرات لهذه المعالم.
طريقة المربعات الصغرى
تعتمد طريقة المربعات الصغرى العادية على الحصول على مقدرات, الانحدار حيث تمثل  معلمة القاطع،  , معلمة الميل. بحيث يتم تصغير مجموع مربعات البوا قي إلى آدني قيمه لها. بحيث يجري تعريف مكون يطلق علية مجموع المربعات البوا قي وبعد ذلك يشرع في الحصول على  ,،  , بحيث يتم تصغير هذا المكون إلى أدنى قيمه له.
طريقة المربعات الصغرى تعطينا مقدرات الانحدار  ,،  , ولكن لا تعطينا مقدرة التباين وهذا يعتبر من نقاط ضعف طريقة المربعات الصغرى.
المعيار الخاص في المربعات الصغرى العادية: النموذج المقدر هو كما يلي

u هي البوا قي والتي تساوي من النموذج نموذج الانحدار ممكن أن يمر من خلال انتشـــــار البيانات الخاصة بـX ,Y ، الخط المقدر هنا هو الذي يعطي Y المقدرة
إذا أخذنا إحداثيات القيم Y,X إحداثيات النقطة الأولى تنقسم إلى قسمين، قسم من المحور الأفقي في النموذج المقدر، هذا عبارة عن الجزء الثاني عبارة عن قيمة البوا قي. فالمشاهدة Y هي حصيلة جمع +u أي أن أي مشاهده مكونه من جانبين، جانب الخط المقدر والبواقي. البواقي بحكم أنها مقدرة العنصر العشوائي يمكن أن تكون موجبة وممكن أن تكون سالبه وكذلك من الناحية النظرية يمكن أن تساوي الصفر.

للحصول على مقدرات المربعات الصغرى العادية يجب أن نحصل أولا على البواقي:
مجموع مربعات البواقي =u2

يتم التوصل إلى الخط الذي تكون فيه مجموع مربعات البواقي اصغر ما يمكن [ اختيار الخط الذي يدني مجموع مربعات البواقي إلى أصغر ما يمكن]. باستخدام الرياضيات فأن شرط الدرجة الأولى يتطلب أجراء التفاضل بالنسبة للمجاهيل   نستخدم التفاضل الجزئي وبعد ذلك نساوي المعادلات التي تم أل تحصل عليها بالصفر ثم نطبق المعادلات الآنية للحصول على قيم المقدرات.

نساوي بالصفر
بادخال المجموع Σ وحيث ان α عدد ثابت فأن Σ α = α n ثم بقسمة المعادلة على n نحصل على مايلي:


نساوي بالصفر


2.5
بالتعويض بقيمة  نحصل على
2.6
بالضرب في n

2.7

معادلة 2.7 تسمى المعادلات الطبيعية ونستطيع استخراج قيم   منها
بالتعويض نحصل على

من الممكن الحصول على المقدرات باستخدام الانحرافات كما يلي:

ولكن